„Matematinės fizikos lygtys“ - kursas 2800 rub. iš MSU, mokymas 15 sav. (4 mėn.), Data: 2023 m. lapkričio 30 d.
įvairenybės / / December 02, 2023
Kursas skirtas matematikos, inžinerijos ar gamtos mokslų disciplinų bakalaurams, magistrams ir specialistams, taip pat universitetų dėstytojams. Kurso tikslas – supažindinti studentą su įvairiais klasikiniais matematinės fizikos lygčių klausimais ir išmokyti studentą pagrindinių tokių lygčių tyrimo metodų. Kursas apima klasikinę medžiagą apie matematinės fizikos lygtis (dalines diferencialines lygtis) per vieną studijų semestrą. Skyriai „Pirmosios eilės tiesinės ir kvazilinijinės lygtys“, „Tiesinių lygčių klasifikacija“, „Bangų lygtis“, „Parabolinė lygtis“, „Fundamentaliniai sprendimai“, „Laplaso lygtis“ Susipažinsime su klasikinėmis problemų formuluotėmis – Koši problema, ribos problema. Įsisavinkime pagrindinius lygčių tyrimo metodus – tiesioginę integraciją, sprendinių tąsos metodą, Furjė metodą, fundamentalių sprendinių metodą, potencialų metodą. Dažnai prisiminsime šių lygčių išvedimą matematinės fizikos uždaviniuose ir mūsų modelių pritaikymo ribas.
Studijų forma
Kursai neakivaizdžiai naudojant nuotolinio mokymosi technologijas
Priėmimo sąlygos
VO arba SPO prieinamumas
2
kursąFizinių ir matematikos mokslų daktaras, profesorius Pareigos: M. V. Lomonosovo vardo Maskvos valstybinio universiteto Kosmoso tyrimų fakulteto Fundamentalios ir taikomosios matematikos katedros profesorius
1. Pirmas susitikimas.
Įžanginis žodis. Pagrindiniai darbo su matematinės fizikos lygtimis principai. Paprastų lygčių pavyzdžiai. Klasifikacija. Paprastų lygčių sprendimas redukuojant jas į įprastas diferencialines lygtis. Kintamųjų pakeitimas lygtyje.
2. Pirmosios eilės lygtys – tiesinė ir kvazilinijinė.
Tiesinės lygtys. Tinkamo pakaitalo radimas – pirmosios eilės paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos sudarymas ir sprendimas. Pirmieji sistemos integralai. Charakteristikos. Kvazilinijinės lygtys. Sprendimo paieška numanoma forma.
3. Cauchy problema. Tiesinių antros eilės lygčių klasifikacija.
Koši problemos teiginys. Teorema apie Koši problemos sprendimo egzistavimą ir unikalumą. Antros eilės tiesinių lygčių su pastoviais koeficientais klasifikacija. Redukcija į kanoninę formą.
4. Hiperbolinės, parabolinės ir elipsinės lygtys.
Antros eilės tiesinių lygčių su kintamaisiais koeficientais klasifikacija plokštumoje. Hiperbolinis, parabolinis ir elipsinis tipas. Hiperbolinių lygčių sprendimas. Pradinių ir kraštinių sąlygų problemos.
5. Stygų lygtis.
Vienmatė bangos lygtis visoje ašyje. Banga pirmyn ir atgal. d'Alemberto formulė. Duhamelio integralas. Pusašyje esančios lygties ribinės sąlygos. Pagrindiniai ribinių sąlygų tipai. Sprendimo tęsinys. Baigtinės atkarpos atvejis.
6. Furjė metodas, kaip pavyzdį naudojant eilutės lygtį.
Furjė metodo idėja. Pirmas žingsnis – rasti pagrindą. Antrasis žingsnis yra gauti įprastas Furjė koeficientų diferencialines lygtis. Trečias žingsnis – atsižvelgti į pradinius duomenis. Eilučių konvergencija.
7. Difuzijos lygtis (baigtinis segmentas).
Lygties išvedimas. Problemų išdėstymas (pradinės ir ribinės sąlygos). Furjė metodas. Atsižvelgiant į dešinę pusę ir nehomogeniškumą ribinėmis sąlygomis. Eilučių konvergencija.
8. Difuzijos lygtis (visa ašis).
Furjė transformacija, inversijos formulė. Lygties sprendimas naudojant Furjė transformaciją. Teorema – metodo pagrindimas (du atvejai). Puasono formulė. Lygties su dešine puse atvejis.
9. Apibendrintos funkcijos.
Puasono formulės rašymas kaip konvoliucija. Įrašymas baigtinėje atkarpoje šilumos lygties sprendinio konvoliucijos forma. Schwartz klasė. Funkcijų pavyzdžiai iš klasės. Apibendrintų funkcijų apibrėžimas, ryšys su klasikinėmis funkcijomis. Apibendrintos funkcijos dauginimas iš pagrindinės funkcijos, diferenciacija. Apibendrintų funkcijų konvergencija. Bendrųjų funkcijų pavyzdžiai.
10. Darbas su bendromis funkcijomis.
Paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimas apibendrintose funkcijose. Apibendrintų funkcijų Furjė transformacija. Konvoliucija. Tiesioginis produktas. Apibendrintos funkcijos nešėjas. Nehomogeninės vienmatės šilumos lygties sprendimas naudojant pagrindinį sprendinį. Fundamentalus paprasto diferencialo operatoriaus sprendimas intervale.
11. Fundamentalūs sprendimai.
Daugiamatės šilumos lygties Puasono formulės išvedimas. Kirkhoffo formulės išvedimas. Bangos lygties Puasono formulės išvedimas. Užduočių sprendimas naudojant kintamųjų atskyrimo metodą, superpozicijos metodą.
12. Laplaso lygtis.
Laplaso lygties išvedimas. Vektorinis laukas – potencialas, srautas per paviršių. Apimties potencialas. Paprastas sluoksnio potencialas. Dvisluoksnis potencialas. Logaritminis potencialas.
13. Dirichlet problema, Neumann problema ir Greeno funkcija.
Harmoninės funkcijos. Silpno ekstremumo principas. Harnako teorema. Griežtas maksimalaus principas. Unikalumo teorema. Vidutinės vertės teorema. Begalinis lygumas. Liuvilio teorema. Greeno formulė. Žaliosios funkcija, jos savybės. Puasono problemos sprendimas Dirichlet sąlygomis naudojant Greeno funkciją. Kitos ribinės vertės problemos. Žaliosios funkcijos konstravimas refleksijos metodu.
14. Daugiamatis Furjė metodas.
Užduočių sprendimas Furjė metodu. Įvairios ribinės sąlygos. Beselio funkcijos. Legendre daugianario. Baigto kurso apžvalga. Apibendrinant.